Nein. Der Austrittsgrund ist nur auf Wunsch des Mitarbeiters zu nennen oder wenn er zur Würdigung des Gesamtbildes beiträgt. In diesem Fall wäre er auch gegen den Willen des Mitarbeiters zu erwähnen. Wenn du ins Zeugnis schreibst, wer das Arbeitsverhältnis aufgelöst hat, so muss dies selbstverständlich wahr sein. Du darfst nicht schreiben, das Arbeitsverhältnis sei in gegenseitigem Einverständnis aufgelöst worden, wenn du deinem Mitarbeiter in Wahrheit gekündigt hast. Der Austrittsgrund im Zeugnis sollte also auch mit dem Kündigungsschreiben übereinstimmen (falls du diesen erwähnt hast – was du ebenfalls nur auf Verlangen des Mitarbeiters musst).
Übrigens schuldest du deinem Mitarbeiter im Zeugnis weder Dankesworte, noch einen Ausdruck des Bedauerns über seinen Weggang, noch Zukunftswünsche – nicht einmal dann, wenn so etwas in einem Zwischenzeugnis enthalten ist. Wenn du aber mit seinen Diensten zufrieden warst, dann mach doch bitte als Zeichen der Wertschätzung.
Ich persönlich kläre fehlendes Bedauern im Zeugnis jeweils mit einer Referenzauskunft. Überbewerten muss man das Fehlen nicht - vielleicht ging es schlicht vergessen.